蝴蝶定理

在许多人类学科中,数学非常重要,而现代科学技术的发展是数学存在不可或缺的基础。数学将伴随着许多人一生的话题,生活中的许多事情都将与数学相关。在我们接触数学的过程中,我们会接触到一件事,那就是数学定理,它能让我们更好地理解数学的美,比如蝴蝶定理。因为这个定理的出现类似于蝴蝶定理,所以被命名为蝴蝶定理,它经常出现在现代考试中,并且仍然有许多科学家对这个定理着迷。让我们详细介绍蝴蝶定理和其他数学定理的相关信息。

蝴蝶定理的起源

蝴蝶定理

在圆o中,有一个中点为p的弦MN,两个相交的弦AB和CD(如图1所示)在经过p之后随机地被制造,连接BC和ad,并且分别与e和f相交,然后PE=PF。从这个几何图形来看,它就像一只跳舞的蝴蝶,所以它被称为蝴蝶定理。这是一只蝴蝶在盘旋。

在梯形中,还有一只美丽的蝴蝶(如图2所示)。在梯形ABCD中,AB//CD、对角AC和BD在点O相交,然后是:

1、SAOD=SBOC;

2、SAOD SBOC=SAOB SDOC。

这是一只在梯形中飞行的蝴蝶,所以它被称为梯形蝴蝶定理。

什么是蝴蝶定理

如图1所示,EF是O的弦,p是EF的中点,AB和CD是穿过点p的两个弦,连接AD和BC,分别在点m和n处与EF相交,那么p是m和n的中点

蝴蝶定理的英文单词是蝴蝶定理,它是经典欧几里得平面几何最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年,而“蝴蝶定理”这个名字最早出现在1944年2月,《美国数学月刊》。主题的图形是一只蝴蝶。这个定理的证明太多了,数学爱好者还在研究,考试中有各种变形。

蝴蝶定理是经典欧洲平面几何最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年,而“蝴蝶定理”这个名字最早出现在1944年2月,《美国数学月刊》。主题的图形是一只蝴蝶。这个定理的证明太多了,数学爱好者还在研究,考试中有各种变形。

这一主张最早出现在1815年英国杂志《男士日记》(绅士日记)的第39-40页。在发表的那一年,英国的一位自学成才的中学数学教师(他发明了多项式方程近似根的霍纳方法)给出了第一个证明,它是完全初等的;理查德泰勒给出了另一个证明。

迈尔斯布兰德在《几何问题》 (1827)给出了另一个早期的证明。最简明的证明是射影几何的证明,这是英国的石开在《欧几里得几何原六书的续篇》中给出的。只有一个句子使用线束的相交比率。

1981年,《症结》杂志发表了一个相对简单的解析几何方法,作者是K. Satyanarayana(使用线性光束和圆锥光束)。

事实上,这个定理是射影几何中一个定理的特例。归纳起来有很多:M,作为一个圆的内弦,是不必要的,可以移到圆之外。圆可以变成任意的圆锥曲线。把一个圆变成一个完整的四边形,其中m是对角线的交点。没有中点条件,结论就变成了关于有向线段的一般比例公式,称为坎迪定理。如果它不是中点,它满足:这对于2和3成立。

蝴蝶定理的研究历史

蝴蝶定理是现代初等几何中著名的课题之一,也是欧几里得平面几何中一个有趣的论断。早在1815年,作为一个有待证明的问题,它被刊登在一份西欧杂志《Gentleman’s Diary(男士日记)》上,引起了数学爱好者的注意。然而,“蝴蝶定理”这一名称最早出现在1944年出版的《American Mathematical Monthly(美国数学月刊)》中,并因其几何形状类似于蝴蝶而得名。在过去的200年里,中国的数学爱好者们给出了新的简洁的证明方法,给这个“老问题”注入了新的活力。

中国对蝴蝶定理的研究始于20世纪80年代。1985年,杜希鲁教授在《平面几何中的名题及其妙解》一文中向公众推广了蝴蝶定理。同年,杨璐教授(2)在文章《谈谈蝴蝶定理》中指出,通过将弦线EF的中点P延伸到弦线EF的任意一点,就可以得到蝴蝶定理的糖果蝴蝶形式:
其中EP=a,FP=b,MP=x,NP=y.

此后不久,马明学者在文章《蝴蝶定理的变异》中将弦EF上的点P扩展到弦EF之外,开辟了蝴蝶定理研究的新方向。

在此期间,主要讨论了圆(椭圆)中蝴蝶定理的各种变化。直到1990年,郑蝶式定理才出现在中国数学竞赛的选择题中:

如图2所示,在郑中,ABCD=AD,BC=CD,直线EF,MN通过对角交点O,分别在点P,Q处连接EN,MF和交叉BD,然后PO=Q
1990年,郑蝶式定理出现在全国高中数学冬令营评选比赛中。此后,我国对蝴蝶定理的研究进入了一个新的高潮,扩大了定理的变形和推广。

1992年,张景中院士(4)在文章《蝴蝶定理的新故事》中反复应用线段比与面积比的相互变换,证明并推广了蝴蝶定理。同年,教授证明并推广了郑蝴蝶定理。

1993年,邓玉口、刘从射影几何的角度证明了蝴蝶定理,并将其编入《高等几何》教材。

1998年,赵从射影几何的角度分析了蝴蝶定理的推广命题,给出了二次曲线蝴蝶定理的结论。这一结论已被《中国数学文摘》和《美国数学评论》摘录,成绩显著。

2001年,王、从射影几何的角度给出了蝴蝶定理的证明。2001年,在全国初中数学竞赛中,蝴蝶定理变形问题出现了。

2003年,椭圆中的蝴蝶定理在北京数学高考中出现,引起了国内数学爱好者的关注。到目前为止,蝴蝶定理的研究和推广还没有结束,这一经典几何问题的开放性使其适合进入高中课堂。

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